最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。在回归分析中，最小二乘法用于求解自变量（或称为解释变量）和因变量（或称为响应变量）之间的线性关系。
回归方程的形式
设回归方程为 \（ y' = bx + a \），其中 \（ y' \） 是因变量的预测值，\（ x \） 是自变量的值，\（ a \） 是截距，\（ b \） 是斜率。
最小二乘法的求解步骤
数据准备：
首先，收集一组具有相关关系的变量与数据点 \（（x_1, y_1）, （x_2, y_2）, \ldots, （x_n, y_n）\）。
建立拟合函数：
确定回归直线的形式，即 \（ y = ax + b \）。
定义误差函数：
误差函数 \（ e（x） \） 定义为实际观测值 \（ y_i \） 与预测值 \（ ax_i + b \） 之间的差的平方和，即：
\[
e（x） = \sum_{i=1}^{n} （y_i - ax_i - b）^2
\]
求导并最小化误差函数：
对误差函数 \（ e（x） \） 分别对 \（ a \） 和 \（ b \） 求导，并令导数等于零，得到两个方程：
\[
\frac{d}{da} e（x） = -2 \sum_{i=1}^{n} （y_i - ax_i - b） x_i = 0
\]
\[
\frac{d}{db} e（x） = -2 \sum_{i=1}^{n} （y_i - ax_i - b） = 0
\]
解方程组：
解上述方程组，得到 \（ a \） 和 \（ b \） 的值：
\[
a = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n \bar{x}^2}
\]
\[
b = \bar{y} - a \bar{x}
\]
其中，\（\bar{x}\） 和 \（\bar{y}\） 分别是 \（ x \） 和 \（ y \） 的均值。
得出回归方程：
将求得的 \（ a \） 和 \（ b \） 值代入回归方程 \（ y' = bx + a \），得到最终的回归直线方程。
示例
假设有以下数据点：
\[
（x_1, y_1） = （1, 2）, （2, 3）, （3, 5）, （4, 6）
\]
1. 计算均值：
\[
\bar{x} = \frac{1+2+3+4}{4} = 2.5, \quad \bar{y} = \frac{2+3+5+6}{4} = 4
\]
2. 代入求导后的方程：
\[
a = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 - 4 \cdot 2.5 \cdot 4}{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 4 \cdot （2.5）^2} = 1
\]
\[
b = 4 - 1 \cdot 2.5 = 1.5
\]
3. 得出回归方程：
\[
y' = 1.5x + 1
\]
通过以上步骤，我们使用最小二乘法求得了回归方程 \（ y' = 1.5x + 1 \），该方程可以用于预测新的 \（ x \） 值对应的 \（ y \） 值。
